流形 (Manifolds) -- (6) 拓扑和拓扑流形

发布时间：2024-04-22 14:00:59　点击量：

我们从这篇文章开始进入流形的定义和相关内容。本文将会先复习一些点集拓扑中的核心概念，然后讲解拓扑流形。以下点集拓扑中的概念都是后面对于流形中的讲解必要的知识。

（注：chart 和 atlas 我在文中直接用英文写的，因为不知道怎么翻译。如果有人了解的话欢迎告诉我，在此不胜感激。）

定义 6.1. 一个拓扑空间 (topological space) 是指一个集合 $S$ 和一个由 $S$ 的子集构成的集合 $\\mathcal{T}$ , 称作一个 $S$ 上的拓扑 (topology), 构成，满足以下条件：

(1) $\\emptyset \\in \\mathcal{T}, S \\in \\mathcal{T}$ ;

(2) $\\mathcal{T}$ 中有限个集合的交集和任意（有限、可数、不可数）个集合的并集还属于 $\\mathcal{T}$ . 简单来说就是 $\\mathcal{T}$ 中的集合对于有限交和任意并封闭。

我们把 $\\mathcal{T}$ 中的集合称作 $S$ 上的开集 (open set). 同时我们称一个 $S$ 的子集 $C$ 为闭集 (closed set), 如果其在 $S$ 中的补集 $S - C$ 为开集。

注意到这个开集的定义是对于欧式空间上的开集定义的一个一般化。所以先前我们通过开球来定义的 $\\mathbb{R}^n$ 上的开集给出了 $\\mathbb{R}^n$ 上的一个拓扑，把 $\\mathbb{R}^n$ 变成了一个拓扑空间。

定义 6.2. 一个由拓扑 $\\mathcal{T}$ 中的部分开集组成的集合 $\\mathcal{B}\\subset \\mathcal{T}$ 称作拓扑 $\\mathcal{T}$ 的一个基 (basis), 若其满足对于任意 $\\mathcal{T}$ 中的开集 $U$ 和点 $p \\in U$ , 都存在一个开集 $B \\in \\mathcal{B}$ , 使得 $p \\in B \\in U$ .

定义 6.3. 称一个拓扑空间第二可数 (second countable), 若其有一个可数的基。

定义 6.4. 设点 $p$ 是拓扑空间 $X$ 中的一点，我们称一个包含了 $p$ 的开集为点 $p$ 的一个邻域 (neighbourhood).

定义 6.5. 一个拓扑空间 $X$ 如果满足对于其中任意两个不同的点 $x, y \\in X$ , 存在 $x$ 的邻域 $P$ 和 $y$ 的邻域 $Q$ 使得 $P \\cap Q=\\emptyset$ , 则称 $X$ 是一个豪斯多夫空间 (Hausdorff space). 如果一个豪斯多夫空间满足其中任意两个不相交的闭集 $F, G$ , 存在两个不相交的开集 $U, V$ 使得 $F \\subset U, G \\subset V$ , 则称之为正规的 (normal) 豪斯多夫空间。

下面是关于拓扑空间之间的连续映射 / 连续函数：

定义 6.6. 设 $X, Y$ 为拓扑空间，一个映射 $f: X \\rightarrow Y$ 在点 $p \\in X$ 连续 (continuous), 若其满足对任意 $f(p) \\in Y$ 的邻域 $V$ , 存在一个 $p \\in X$ 的邻域 $U$ , 使得 $f(U) \\subset V$ . 称一个映射 $f: X \\rightarrow Y$ 是一个从 $X$ 到 $Y$ 的连续映射 / 连续函数 (continuous mapping /continuous function), 若其在 $X$ 中的每个点都连续。类似地，我们也可以定义在 $X$ 中的某个开集上的连续映射（定义为在其上每个点都连续的映射）。

命题 6.7. 映射 $f: X \\rightarrow Y$ 是连续映射，当且仅当对于任意的开集 $V \\subset Y$ , 其原像 $f^{-1}(V) \\subset X$ 是 $X$ 中的开集。

证明从略。

定义 6.8. 若拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 之间存在一个连续的一一映射 $f: X \\rightarrow Y$ , 满足其逆映射 $f^{-1}: Y \\rightarrow X$ 也是连续映射，则称 $X$ 和 $Y$ 是同胚 (homeomorphic) 的， $f$ 是这两个拓扑空间之间的同胚映射 (homeomorphism).

定义 6.9. 对于拓扑空间 $X$ 中的某个子集 $A$ , 定义它的一个开覆盖为一组开集 $\\{ U_\\alpha \\}_{\\alpha \\in I}$ , 这里 $I$ 是一个指标集 (index set), 使得 $A \\subset \\bigcup_{\\alpha \\in I}U_\\alpha$ . (如果 $A=X$ , 则为 $X=\\bigcup_{\\alpha \\in I}U_\\alpha$ .)

关于点集拓扑的预备知识就介绍到这里，后续如果用到这里没有讲过的点的话会随时补充。下面进入拓扑流形的讲解。首先我们来定义局部欧式的空间：

定义 6.10. 称一个拓扑空间 $M$ 是局部 $n$ 维欧式的 (locally Euclidean of dimension $n$ ), 若其满足对任意 $p \\in M,$ 存在一个点 $p$ 的邻域 $U$ , 使得存在一个从 $U$ 到某个 $\\mathbb{R}^n$ 空间内开子集的同胚映射 $\\phi: U \\rightarrow \\mathbb{R}^n$ . 称这样的一个有序对 $(U, \\phi)$ 为一个 chart. 这里的 $U$ 称为一个坐标邻域 (coordinate neighbourhood) 或者一个坐标开集 (coordinate open set). 称 $\\phi$ 为一个坐标映射 (coordinate map) 或者 $U$ 上的坐标系 (coordinate system on $U$ ). 称一个 chart 以 $p$ 为中心 (centred at $p$ ), 若 $\\phi(p)=0$ .

注意，如果仅仅强调“局部欧式“的空间，那么对于不同的 $p$ 点上面定义中的 $n$ (也就是 $\\mathbb{R}^n$ 中的 $n$ ) 可以取不同值。也就是对于每个 $p \\in M$ 都存在一个 $n$ 使得上面的条件满足。

然后我们就可以给出拓扑流形的定义了：

定义 6.11. 一个拓扑流形 (topological manifold) 指的是一个第二可数、局部欧式的豪斯多夫空间。称这样一个拓扑流形是 $n$ 维的，如果它是局部 $n$ 维欧式的。

我们来看一些例子：

显然， $\\mathbb{R}^n$ 中的开集 $U$ (包括 $\\mathbb{R}^n$ 本身) 都是拓扑流形，chart 为 $(U, I_U)$ . 这里 $I_U: U \\rightarrow U$ 是恒等映射。

在 $\\mathbb{R}^2$ 中 $y=x^{2/3}$ 的图像是一个拓扑流形。豪斯多夫空间和第二可数的条件皆有其为 $\\mathbb{R}^2$ 的子集而自然得出。由 $(x, x^{2/3}) \\mapsto \\mathbb{R}$ 给出了一个该图像与 $\\mathbb{R}$ 的同胚映射，故而其是局部欧式的。

？思考题 6.12. 证明一个欧氏空间中的“十字”（两条相交的直线）不是拓扑流形。（提示：在两条直线的交点该图形不是局部欧式的。）

下面我们来讨论一些和 chart 相关的内容。我们下面定义两个 chart 的兼容：

定义 6.13. 令 $(U, \\phi: U \\rightarrow \\mathbb{R}^n), (V, \\psi: V \\rightarrow \\mathbb{R}^n)$ 为某拓扑流形上的两个 chart. 不难看出像集 $\\phi(U \\cap V), \\psi(U \\cap V)$ 都是 $\\mathbb{R}^n$ 中的开集。称这两个 chart 是 $C^\\infty$ - 兼容的 ( $C^\\infty$ -compatible), 若以下两个映射：

$\\phi \\circ \\psi^{-1}: \\psi(U \\cap V) \\rightarrow \\phi (U \\cap V), \\psi \\circ \\phi^{-1}": \\phi(U \\cap V) \\rightarrow \\psi (U \\cap V)$

都是 $C^\\infty$ 的。这里 $\\circ$ 符号表示映射的复合。这两个映射称为这两个 chart 之间的转移函数 (transition functions).

下面是 $C^\\infty$ -atlas 的定义：

定义 6.14. 局部欧式空间 $M$ 上的一个 $C^\\infty$ -atlas 指的是一个由 charts 组成的集合 $\\{(U_\\alpha, \\phi_\\alpha)\\}_{\\alpha \\in I}$ , 这里面的 charts 两两 $C^\\infty$ - 兼容，且有 $M=\\bigcup_{\\alpha \\in I}U_\\alpha$ .

由于我们今后研究的兼容性和 atlas 都是 $C^\\infty$ - 兼容/atlas, 所以我们省略 $C^\\infty$ 不写，以便于简化行文。

我们称一个 chart 和一个 atlas 兼容，若其和这个 atlas 里每一个 chart 都兼容。

我们可以看出，兼容性在 charts 之间定义了一个二元关系，我们不妨来讨论一下这个关系是否是一个等价关系。众所周知等价关系需要满足反身性，对称性和传递性。显然反身性和对称性都满足，但传递性并不满足：也就是说给定三个 charts $(U_1, \\phi_1), (U_2, \\phi_2), (U_3, \\phi_3)$ , 若 $(U_1, \\phi_1)$ 和 $(U_2, \\phi_2)$ 兼容，且 $(U_2, \\phi_2)$ 和 $(U_3, \\phi_3)$ 兼容，我们是不能推出 $(U_1, \\phi_1)$ 和 $(U_3, \\phi_3)$ 兼容的。这是因为 $(U_1, \\phi_1)$ 和 $(U_3, \\phi_3)$ 兼容的必要条件是 $\\phi_3 \\circ \\phi_1^{-1}$ 在 $\\phi_1(U_1 \\cap U_3)$ 中是 $C^\\infty$ 的，但从条件我们只能推出 $\\phi_3 \\circ \\phi_1^{-1}=(\\phi_3 \\circ \\phi_2^{-1}) \\circ (\\phi_2 \\circ \\phi_1^{-1})$ 在 $U_1 \\cap U_2 \\cap U_3$ 中是 $C^\\infty$ 的，并不足以推出该必要条件。

但我们可以通过 charts 和 atlas 之间的兼容性来推出 charts 间的兼容性：

引理 6.15. 设 $\\{ (U_\\alpha, \\phi_\\alpha) \\}_\\alpha$ 是一个局部欧式空间上的 atlas, 若两个 charts $(V, \\psi), (W, \\sigma)$ 都和这个 atlas 兼容，则这两个 charts 兼容。

证明：取任意一点 $p \\in V \\cap W$ , 我们首先证明 $\\sigma \\circ \\psi^{-1}$ 在 $\\psi(p)$ 是 $C^\\infty$ 的。由于 $M$ 是一个 atlas, 则一定存在一个 $\\alpha$ 使得 $p \\in U_\\alpha$ . 所以 $p \\in V \\cap W \\cap U_\\alpha$ . 由于 $\\sigma \\circ \\phi_\\alpha^{-1}=(\\sigma \\circ \\phi_\\alpha^{-1}) \\circ (\\phi_\\alpha \\circ \\psi^{-1})$ 在 $\\psi(V \\cap W \\cap U_\\alpha)$ 是 $C^\\infty$ 的，所以其在 $p$ 亦是 $C^\\infty$ 函数。根据 $p$ 的任意性该命题得证。类似地可以证明 $\\psi \\circ \\sigma^{-1}$ 在 $V \\cap W$ 是 $C^\\infty$ 函数。证毕。

下一篇文章进入光滑流形的介绍。

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