流形 (Manifolds) -- (6) 拓扑和拓扑流形
我们从这篇文章开始进入流形的定义和相关内容。本文将会先复习一些点集拓扑中的核心概念,然后讲解拓扑流形。以下点集拓扑中的概念都是后面对于流形中的讲解必要的知识。
(注:chart 和 atlas 我在文中直接用英文写的,因为不知道怎么翻译。如果有人了解的话欢迎告诉我,在此不胜感激。)
定义 6.1. 一个拓扑空间 (topological space) 是指一个集合 和一个由
的子集构成的集合
, 称作一个
上的拓扑 (topology), 构成,满足以下条件:
(1) ;
(2) 中有限个集合的交集和任意(有限、可数、不可数)个集合的并集还属于
. 简单来说就是
中的集合对于有限交和任意并封闭。
我们把 中的集合称作
上的开集 (open set). 同时我们称一个
的子集
为闭集 (closed set), 如果其在
中的补集
为开集。
注意到这个开集的定义是对于欧式空间上的开集定义的一个一般化。所以先前我们通过开球来定义的 上的开集给出了
上的一个拓扑,把
变成了一个拓扑空间。
定义 6.2. 一个由拓扑 中的部分开集组成的集合
称作拓扑
的一个基 (basis), 若其满足对于任意
中的开集
和点
, 都存在一个开集
, 使得
.
定义 6.3. 称一个拓扑空间第二可数 (second countable), 若其有一个可数的基。
定义 6.4. 设点 是拓扑空间
中的一点,我们称一个包含了
的开集为点
的一个邻域 (neighbourhood).
定义 6.5. 一个拓扑空间 如果满足对于其中任意两个不同的点
, 存在
的邻域
和
的邻域
使得
, 则称
是一个豪斯多夫空间 (Hausdorff space). 如果一个豪斯多夫空间满足其中任意两个不相交的闭集
, 存在两个不相交的开集
使得
, 则称之为正规的 (normal) 豪斯多夫空间。
下面是关于拓扑空间之间的连续映射 / 连续函数:
定义 6.6. 设 为拓扑空间,一个映射
在点
连续 (continuous), 若其满足对任意
的邻域
, 存在一个
的邻域
, 使得
. 称一个映射
是一个从
到
的连续映射 / 连续函数 (continuous mapping /continuous function), 若其在
中的每个点都连续。类似地,我们也可以定义在
中的某个开集上的连续映射(定义为在其上每个点都连续的映射)。
命题 6.7. 映射 是连续映射,当且仅当对于任意的开集
, 其原像
是
中的开集。
证明从略。
定义 6.8. 若拓扑空间 和
之间存在一个连续的一一映射
, 满足其逆映射
也是连续映射,则称
和
是同胚 (homeomorphic) 的,
是这两个拓扑空间之间的同胚映射 (homeomorphism).
定义 6.9. 对于拓扑空间 中的某个子集
, 定义它的一个开覆盖为一组开集
, 这里
是一个指标集 (index set), 使得
. (如果
, 则为
.)
关于点集拓扑的预备知识就介绍到这里,后续如果用到这里没有讲过的点的话会随时补充。下面进入拓扑流形的讲解。首先我们来定义局部欧式的空间:
定义 6.10. 称一个拓扑空间 是局部
维欧式的 (locally Euclidean of dimension
), 若其满足对任意
存在一个点
的邻域
, 使得存在一个从
到某个
空间内开子集的同胚映射
. 称这样的一个有序对
为一个 chart. 这里的
称为一个坐标邻域 (coordinate neighbourhood) 或者一个坐标开集 (coordinate open set). 称
为一个坐标映射 (coordinate map) 或者
上的坐标系 (coordinate system on
). 称一个 chart 以
为中心 (centred at
), 若
.
注意,如果仅仅强调“局部欧式“的空间,那么对于不同的 点上面定义中的
(也就是
中的
) 可以取不同值。也就是对于每个
都存在一个
使得上面的条件满足。
然后我们就可以给出拓扑流形的定义了:
定义 6.11. 一个拓扑流形 (topological manifold) 指的是一个第二可数、局部欧式的豪斯多夫空间。称这样一个拓扑流形是 维的,如果它是局部
维欧式的。
我们来看一些例子:
显然, 中的开集
(包括
本身) 都是拓扑流形,chart 为
. 这里
是恒等映射。
在 中
的图像是一个拓扑流形。豪斯多夫空间和第二可数的条件皆有其为
的子集而自然得出。由
给出了一个该图像与
的同胚映射,故而其是局部欧式的。
?思考题 6.12. 证明一个欧氏空间中的“十字”(两条相交的直线)不是拓扑流形。(提示:在两条直线的交点该图形不是局部欧式的。)
下面我们来讨论一些和 chart 相关的内容。我们下面定义两个 chart 的兼容:
定义 6.13. 令 为某拓扑流形上的两个 chart. 不难看出像集
都是
中的开集。称这两个 chart 是
- 兼容的 (
-compatible), 若以下两个映射:
都是 的。这里
符号表示映射的复合。这两个映射称为这两个 chart 之间的转移函数 (transition functions).
下面是 -atlas 的定义:
定义 6.14. 局部欧式空间 上的一个
-atlas 指的是一个由 charts 组成的集合
, 这里面的 charts 两两
- 兼容,且有
.
由于我们今后研究的兼容性和 atlas 都是 - 兼容/atlas, 所以我们省略
不写,以便于简化行文。
我们称一个 chart 和一个 atlas 兼容,若其和这个 atlas 里每一个 chart 都兼容。
我们可以看出,兼容性在 charts 之间定义了一个二元关系,我们不妨来讨论一下这个关系是否是一个等价关系。众所周知等价关系需要满足反身性,对称性和传递性。显然反身性和对称性都满足,但传递性并不满足:也就是说给定三个 charts , 若
和
兼容,且
和
兼容,我们是不能推出
和
兼容的。这是因为
和
兼容的必要条件是
在
中是
的,但从条件我们只能推出
在
中是
的,并不足以推出该必要条件。
但我们可以通过 charts 和 atlas 之间的兼容性来推出 charts 间的兼容性:
引理 6.15. 设 是一个局部欧式空间上的 atlas, 若两个 charts
都和这个 atlas 兼容,则这两个 charts 兼容。
证明:取任意一点 , 我们首先证明
在
是
的。由于
是一个 atlas, 则一定存在一个
使得
. 所以
. 由于
在
是
的,所以其在
亦是
函数。根据
的任意性该命题得证。类似地可以证明
在
是
函数。证毕。
下一篇文章进入光滑流形的介绍。